Максим Леонидович Траньков родился 7 октября 1983 года в Перми, в спортивной семье. Именно родители привели его на каток в 4-летнем возрасте, где его первым тренером был Валерий Домрачев. Однако особого желания заниматься у Максима не было, и после четырех лет безрезультатного катания Домрачев «передал» его другим тренерам – Валентине и Валерию Тюковым.
С 11 лет Траньков занялся парным катанием, его первой партнершей стала – Алеся Корчагина, с которой он выполнил первый взрослый разряд. Но после двух лет совместного катания пара распалась, и новой партнершей Максима стала Ксения Васильева, вместе они стали седьмыми на юниорском первенстве. Однако уже через два года он катался уже с новой партнершей – Ириной Богомоловой.
А летом 1999 года Траньков по приглашению известного тренера Людмилы Смирновой переехал в Санкт-Петербург и встал в пару с ее дочерью Ириной Улановой. За три года совместного катания они добились пятого места на национальном юниорском первенстве. В 2002 году Максим вновь поменял партнершу – встал в пару с Натальей Шестаковой, но ненадолго – уже через год он катался с Марией Мухортовой.
Они выиграли чемпионат мира 2005 года среди юниоров, чемпионат России-2007, а в 2008-м стали серебряными призерами чемпионата Европы и России. Последующие годы также принесли дуэту немало побед на соревнованиях различного уровня, однако всё их катание сопровождалось частыми конфликтами и сменами тренеров. На зимней Олимпиаде 2010 года пара Траньков-Мухортова, допустив на выступлениях несколько ошибок, в итоге смогла занять 7-е место, а после чемпионата мира, где они заняли 4-е место, также откатав программу неидеально, Максим сообщил о распаде пары.
В это же время украинская фигуристка Татьяна Волосожар, после завершения спортивной карьеры своего партнера Станислава Морозова, была в поиске нового партнера, и Максим предложил ей кататься вместе. Их тренером стала Нина Мозер, которой в работе помогает и Станислав Морозов. Официальным дебютом пары на российских соревнованиях стало участие в третьем этапе Кубка России 2010 года, который они выиграли, как и чемпионат России 2011 года, причем лидируя в обеих программах. Также пара завоевала серебро на чемпионате мира-2011, что стало первым крупным совместным международным стартом для дуэта.
Несмотря на то, что сезон 2011-2012 был для обоих фигуристов непростым (оба получили сложные травмы), но Максим и Татьяна смогли выиграть два международных турнира (Nebelhorn Trophy 2011 и Мемориал Ондрея Непелы 2011), два своих этапа серии Гран-При и чемпионат Европы 2012 года. Причем за время совместных выступлений пара Волосожар-Траньков не опускалась ниже второго места, а в сезоне 2012-2013 они выиграли все соревнования, в которых участвовали. В декабре 2013 года Федерация спортивных журналистов России наградила обоих фигуристов «Серебряной ланью» как лучших спортсменов года.
На зимней Олимпиаде 2014 года в Сочи Татьяна Волосожар и Максим Траньков стали двукратными олимпийскими чемпионами, с триумфом откатав короткую программу в рамках командного первенства, а также завоевав золотую медаль в личном первенстве. Пара поставила мировой рекорд, получив максимальное количество баллов за исполнение короткой программы - 84,17 баллов. Такой оценки не получала еще ни одна пара в мировой практике фигурного катания.
Летом 2015 года Максим и Татьяна стали мужем и женой. В 2016-м на чемпионатах России и Европы пара уверенно завоевала золотые медали, а в феврале 2017 года у них родилась дочка. В 2018 году пара объявила о завершении спортивной карьеры. В мае 2021 года в их семье родился сын Теодор.
Еще в 2014 году Траньков окончил Московский государственный гуманитарный университет им. М.А. Шолохова.
Сегодня Заслуженный мастер спорта России, кавалер ордена «За заслуги перед Отечеством» IV степени, двукратный олимпийский чемпион, чемпион мира, четырехкратный чемпион Европы и трехкратный чемпион России, призер многих мировых первенств – Максим Траньков занимается тренерской работой, живёт в Москве.
